Μεγάλοι Αριθμοί

Το κείμενο αυτό γράφτηκε σαν συνέχεια ενός απλούστερου που ο συγγραφέας είχε γράψει για μαθητές της ελληνικής γλώσσας.

This text is unfortunately untranslatable in English (or other languages): it examines the ability of Modern Greek to express large numbers.


Αναρωτηθήκατε ποτέ ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορείτε να ονομάσετε; Καλά, όλοι ξέρουμε οτι οι αριθμοί δεν έχουν τέλος. Η γραφή των αριθμών όμως, μήπως εκείνη έχει τέλος;

Όταν ήμουν τεσσάρων χρονών, το έκανα γούστο να μετράω. Από το ένα μέχρι όσο να βαρεθώ. Επειδή όμως η γνωστή μέθοδος του μετρήματος (που είχα πια μάθει) μου επέτρεπε να φτάσω σε νούμερα που ξεπερνούσαν ακόμα και την απύθμενη έλλειψη βαρεμάρας ενός νηπίου, κάποτε έκανα την κρίσιμη ερώτηση: «μαμά, ποιός είναι ο πιο μεγάλος αριθμός;» (Με άλλα λόγια: «άντε, κοντεύουμε να φτάσουμε;») Εκείνη μου απάντησε οτι δεν υπάρχει αριθμός πιο μεγάλος απ’ όλους τους άλλους, γιατί «όποιον αριθμό και να σκεφτείς, μπορείς να του προσθέσεις ένα, και να τον κάνεις ακόμα μεγαλύτερο.» Έτσι μου έγινε η εισαγωγή στη μαθηματική επαγωγή, και στην έννοια του απείρου.

Αργότερα, παρά το οτι στο σχολείο μου μάθανε ποιες είναι οι ασύμπτωτες μιας ρητής συνάρτησης, και πώς αποδεικνύουμε οτι οι μεσοκάθετοι ενός τριγώνου συναντώνται στο κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου, εμένα το ερώτημα μου έμεινε στο ξερό-μου το κεφάλι: ρε παιδιά, ποιος είναι ο πιο μεγάλος αριθμός που μπορείτε να πείτε με το στόμα-σας;

Οι συμμαθητές-μου νόμιζαν οτι είμαι τελείως βλάκας. Μου έδιναν την απάντηση της μητέρας-μου, μονάχα επί το συμμαθητηκότερον: «Αφού ρε μ...α, όποιον αριθμό και να μου πεις, εγώ μπορώ να σου πω εκείνον-και-ένα! Τι μ...ς που είσαι ρε μ...α!»

Καλά ρε παιδιά, μη βαράτε όλοι μαζί! Δεν εννοώ αυτό. Εντάξει, μπορείτε να πείτε εκείνον-και-ένα. Αλλά μετά το “εκείνον”, έχετε λέξη για το παρακάτω; Αφού οι συστατικές λέξεις που έχουμε για να ονομάζουμε αριθμούς είναι περιορισμένες. Άρα, πόσο μακριά νομίζετε πως μπορείτε να φτάσετε πριν σας βγει η γλώσσα από την επανάληψη μέχρις αηδίας των ίδιων και των ίδιων λέξεων;

Κανένας δεν καταλάβαινε τον πόνο-μου. Το χειρότερο, κι εγώ ο ίδιος που με καταλάβαινα απολύτως, δεν μπορούσα να φτάσω και πολύ μακριά στη διαδρομή, έμενα πάντοτε από βενζίνηλέξεις, δηλαδή.

Κάποτε έμαθα οτι ο Αρχιμήδης, στην αρχαιότητα, είχε λέει ασχοληθεί με το ίδιο ερώτημαορίστε, βλέπετε; καμιά φορά τα μεγάλα πνεύματα συναντάνε τα μικράκαι είχε φτάσει να περιγράψει έναν αριθμό που αν τον γράφαμε στη σημερινή γραφή θα ήταν το 1 ακολουθούμενο από 80 τετράκις εκατομμύρια μηδενικά. Σιγά τ’ αβγά! (Σκέφτηκα όταν το πρωτοάκουσα.) Και γιατί σταμάτησε εκεί ο άνθρωπος; Βαρέθηκε;

Όχι, δεν βαρέθηκε. Όπως έμαθα αργότερα, έπαθε αυτό που παθαίνουν όλοι όσοι ξεκινάνε για το άπειρο: ξέμεινε από βενζίνη. Δημιούργησε μεν στην πορεία δικές-του λέξεις για αριθμούς, αλλά κάποια στιγμή η γλώσσα παραδίδει το πνεύμα στο άπειρο. (Ακόμα και η μαθηματική γραφή με ψηφία παραδίδει το πνεύμαδιαβάστε παρακάτω και θα δείτε.)

Για να μην τα πολυλογώ, αυτό που θα δείτε πιο κάτω είναι η δική-μου πορεία προς το άπειρο. Ξέρω πολύ καλά οτι παρόμοια πορεία έχουν κάνει και πολλοί άλλοι, αλλά ποσώς με απασχολείδικιά-μου η σελίδα, στο κάτω-κάτω, δική-μου κι η πορεία. Όποιος θέλει ας μ’ ακολουθήσει. Για τους υπόλοιπους, υπάρχει και το κουμπί που γράφει “Πίσω”.

Λοιπόν, ξεκινάμε με τα τετριμμένα:

1.000.000 ή 106 εκατομμύριο
1.000.000.000 ή 109 δισεκατομμύριο
1.000.000.000.000 ή 1012 τρισεκατομμύριο
1.000.000.000.000.000 ή 1015 τετράκις εκατομμύριο
1018 πεντάκις εκατομμύριο
1021 εξάκις εκατομμύριο
1024 επτάκις εκατομμύριο
1027 οκτάκις εκατομμύριο
1030 εννεάκις εκατομμύριο
1033 δεκάκις εκατομμύριο
1036 ενδεκάκις εκατομμύριο
1039 δωδεκάκις εκατομμύριο
1042 δεκατριάκις εκατομμύριο
1045 δεκατετράκις εκατομμύριο
1048 δεκαπεντάκις εκατομμύριο
1051 δεκαεξάκις εκατομμύριο
1054 δεκαεπτάκις εκατομμύριο
1057 δεκαοκτάκις εκατομμύριο
1060 δεκαεννεάκις εκατομμύριο
1063 εικοσάκις εκατομμύριο
1066 εικοσιάπαξ εκατομμύριο
1069 εικοσιδίς εκατομμύριο
1072 εικοσιτρίς εκατομμύριο
1075 εικοσιτετράκις εκατομμύριο
1078 εικοσιπεντάκις εκατομμύριο
1081 εικοσιεξάκις εκατομμύριο
... ...

Πώς σας φαίνεται το “εικοσιάπαξ”; Ε, πώς αλλιώς να πούμε “εικοσιένα φορές” ακολουθώντας το σύστημα; άπαξ, δις, τρις,... Εικοσιάπαξ, λοιπόν.

Παρεμπιπτόντως, ο τελευταίος αριθμός στη λίστα, είναι λέει κοντά στο συνολικό αριθμό των στοιχειωδών σωματιδίων (πρωτονίων, ηλεκτρονίων, κλπ.) του παρατηρήσιμου μέρους του σύμπαντος. Αν νομίζετε οτι η σελίδα αυτή γράφτηκε για να δούμε πώς μετράμε πράγματα που υπάρχουν, σας πληροφορώ οτι τα υπαρκτά μόλις μας τελείωσαν. Με το καλημέρα! Απαλλαγμένοι λοιπόν από τα εγκόσμια και υπαρκτά, προχωράμε τώρα στα απόκοσμα και ανύπαρκτα.

... ...
1093 τριακοντάκις εκατομμύριο
1096 τριακοντάπαξ εκατομμύριο
1099 τρακονταδίς εκατομμύριο
10100 δέκα τριακονταδίς εκατομμύρια, ή 1 googol στα αγγλικά
... ...
10123 τεσσαρακοντάκις εκατομμύριο
10153 πεντηκοντάκις εκατομμύριο
10183 εξηκοντάκις εκατομμύριο
10213 εβδομηκοντάκις εκατομμύριο
10243 ογδοηκοντάκις εκατομμύριο
10273 ενενηκοντάκις εκατομμύριο
10303 εκατοντάκις εκατομμύριο
10603 διακοσάκις εκατομμύριο
10903 τριακοσάκις εκατομμύριο
101203 τετρακοσάκις εκατομμύριο
101503 πεντακοσάκις εκατομμύριο
101803 εξακοσάκις εκατομμύριο
102103 επτακοσάκις εκατομμύριο
102403 οκτακοσάκις εκατομμύριο
102703 εννεακοσάκις εκατομμύριο
103003 χιλιάκις εκατομμύριο
106003 δισχιλιάκις εκατομμύριο
109003 τρισχιλιάκις εκατομμύριο
1012003 τετράκις χιλιάκις εκατομμύριο
1015003 πεντάκις χιλιάκις εκατομμύριο
1018003 εξάκις χιλιάκις εκατομμύριο
1021003 επτάκις χιλιάκις εκατομμύριο
1024003 οκτάκις χιλιάκις εκατομμύριο
1027003 εννεάκις χιλιάκις εκατομμύριο
1030003 δεκάκις χιλιάκις εκατομμύριο
1033003 ενδεκάκις χιλιάκις εκατομμύριο
1036003 δωδεκάκις χιλιάκις εκατομμύριο
1039003 δεκατριάκις χιλιάκις εκατομμύριο
... ...
1060003 εικοσάκις χιλιάκις εκατομμύριο
1090.003 τριακοντάκις χιλιάκις εκατομμύριο
10120.003 τεσσαρακοντάκις χιλιάκις εκατομμύριο
10150.003 πεντηκοντάκις χιλιάκις εκατομμύριο
10180.003 εξηκοντάκις χιλιάκις εκατομμύριο
10210.003 εβδομηκοντάκις χιλιάκις εκατομμύριο
10240.003 ογδοηκοντάκις χιλιάκις εκατομμύριο
10270.003 ενενηκοντάκις χιλιάκις εκατομμύριο
10300.003 εκατοντάκις χιλιάκις εκατομμύριο
10600.003 διακοσάκις χιλιάκις εκατομμύριο
10900.003 τριακοσάκις χιλιάκις εκατομμύριο
101.200.003 τετρακοσάκις χιλιάκις εκατομμύριο
101.500.003 πεντακοσάκις χιλιάκις εκατομμύριο
101.800.003 εξακοσάκις χιλιάκις εκατομμύριο
102.100.003 επτακοσάκις χιλιάκις εκατομμύριο
102.400.003 οκτακοσάκις χιλιάκις εκατομμύριο
102.700.003 εννεακοσάκις χιλιάκις εκατομμύριο
103.000.003 εκατομμυριάκις εκατομμύριο
106.000.003 δισεκατομμυριάκις εκατομμύριο
109.000.003 τρισεκατομμυριάκις εκατομμύριο
1012.000.003 τετράκις εκατομμυριάκις εκατομμύριο
... ...
1030.000.003 δεκάκις εκατομμυριάκις εκατομμύριο
10300.000.003 εκατοντάκις εκατομμυριάκις εκατομμύριο
103.000.000.003 χιλιάκις εκατομμυριάκις εκατομμύριο
1030.000.000.003 δεκάκις χιλιάκις εκατομμυριάκις εκατομμύριο
10300.000.000.003 εκατοντάκις χιλιάκις εκατομμυριάκις εκατομμύριο
103.000.000.000.003 εκατομμυριάκις εκατομμυριάκις εκατομμύριο

Κάπου εδώ αρχίζει και φαίνεται η επαναληπτικότητα του σχεδίου: κάθε φορά που εισάγονται έξι μηδενικά στον εκθέτη (000.000), προτίθεται κι ένα εκατομμυριάκις στην ονομασία του αριθμού. Οπότε:

103.000.000.000.000.000.003 εκατομμυριάκις εκατομμυριάκις εκατομμυριάκις εκατομμύριο

Ναι, αλλά έτσι δεν μπορούμε να πάμε μακριά. Έτσι την πάτησε ο Αρχιμήδης. Ο παραπάνω αριθμός, παρεμπιπτόντως, είναι ελαφρώς μεγαλύτερος από τον μεγαλύτερο του Αρχιμήδη: είναι το 1 ακολουθούμενο από 3 πεντάκις εκατομμύρια (και τρία) μηδενικά. Αυτό δεν σημαίνει οτι είμαστε έξυπνοι εμείς, απλώς επωφελούμαστε από το πιο μοντέρνο σύστημα ονομασίας που διαθέτουμε.

Λοιπόν, αν συνεχίσουμε έτσι, οι ονομασίες θα γίνουν μακαρόνια. Η μαθηματική γραφή δεν έχει (ακόμα) πρόβλημα, γιατί θα φτιάξουμε εκθέτη πάνω στον εκθέτη (θα συμπτύξουμε τα μηδενικά δηλαδή), αλλά με τα γλωσσικά μακαρόνια τι γίνεται; Αυτό είναι που εννοούσα προηγουμένως όταν έλεγα οτι θα μείνουμε από βενζίνη.

Οι πολιτισμοί, τώρα που διαπιστώνουν οτι μένουν από καύσιμα, προσπαθούν ν’ ανακαλύψουν εναλλακτικές μορφές ενέργειας. Στο ίδιο πνεύμα λοιπόν, προτείνω το εξής απλό: να συμπτύξουμε το “εκατομμυριάκις εκατομμυριάκις” με το νέο όρο “διπλεκατομμυριάκις”. Κι αν είναι τρεις οι επαναλήψεις του προθέματος “εκατομμυριάκις”, τότε “τριπλεκατομμυριάκις”. Και ούτω καθεξής. Σκέφτεστε κάτι καλύτερο; Αν ναι, πείτε-μου. Αν όχι, ιδού η συνέχεια:

103.000.000.000.003 = 103·1012+3 διπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103.000.000.000.000.000.003 = 103·1018+3 τριπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·1024+3 τετραπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·1030+3 πενταπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·1036+3 εξαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
... ...
103·1060+3 δεκαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·10120+3 εικοσαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο

Μικρό διάλειμμα: Ο αριθμός “ένα δεκαεπταπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο”, ήτοι 103·10102+3, είναι ελαφρώς μεγαλύτερος από αυτόν που στα αγγλικά λένε 1 googolplex, ήτοι τον 1010100. Συνεχίζουμε.

103·10180+3 τριακονταπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·10240+3 τεσσαρακονταπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·10300+3 πεντηκονταπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
... ...
103·10600+3 εκατονταπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·101.200+3 διακοσαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·101.800+3 τριακοσαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·102.400+3 τετρακοσαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·103.000+3 πεντακοσαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
... ...
103·106.000+3 χιλιαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·1012.000+3 δισχιλιαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·1018.000+3 τρισχιλιαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·1024.000+3 τετραχιλιαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·1030.000+3 πενταχιλιαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
... ...
103·1060.000+3 δεκαχιλιαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·10600.000+3 εκατονχιλιαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·106.000.000+3 εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·1060.000.000+3 δεκαεκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·10600.000.000+3 εκατονεκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·106.000.000.000+3 δισεκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·106.000.000.000.000+3 τρισεκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·106.000.000.000.000.000+3 τετράκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο

Κάτι πρέπει να κάνουμε επιτέλους με τους εκθέτες των εκθετών. Κανένα πρόβλημα (ακόμα): τους συμπτύσσουμε με επιπλέον εκθέτες.

103·106·1018+3 πεντάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·106·1021+3 εξάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·106·1024+3 επτάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·106·1027+3 οκτάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·106·1030+3 εννεάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·106·1033+3 δεκάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·106·1063+3 εικοσάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·106·1093+3 τριακοντάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·106·10123+3 τεσσαρακοντάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·106·10150+3 πεντηκοντάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
... ...
103·106·10303+3 εκατοντάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·106·10603+3 διακοσάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·106·10903+3 τριακοσάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·106·101.203+3 τετρακοσάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·106·101.503+3 πεντακοσάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
... ...
103·106·103.003+3 χιλιάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·106·106.003+3 δισχιλιάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·106·109.003+3 τρισχιλιάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·106·1012.003+3 τετράκις χιλιάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·106·1015.003+3 πεντάκις χιλιάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
... ...
103·106·1030.003+3 δεκάκις χιλιάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·106·1060.003+3 εικοσάκις χιλιάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·106·1090.003+3 τριακοντάκις χιλιάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·106·10120.003+3 τεσσαρακοντάκις χιλιάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·106·10150.003+3 πεντηκοντάκις χιλιάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
... ...
103·106·10300.003+3 εκατοντάκις χιλιάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·106·10600.003+3 διακοσάκις χιλιάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
... ...
103·106·103.000.003+3 εκατομμυριάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·106·106.000.003+3 δισεκατομμυριάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·106·109.000.003+3 τρισεκατομμυριάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·106·1012.000.0033 τετράκις εκατομμυριάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
... ...
103·106·103.000.000.000.003+3 εκατομμυριάκις εκατομμυριάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο

Ας συμπτύξουμε για μια ακόμα φορά τους εκθέτες πριν παραμακρύνουν, οπότε ο αριθμός:
103·106·103.000.000.000.003+3 γράφεται σαν: 103·106·103·1012+3+3.
Αλλά και η ονομασία συμπτύσσεται, όπως κάναμε προηγουμένως: αντί για “εκατομμυριάκις εκατομμυριάκις”, μπορούμε να γράψουμε “διπλεκατομμυριάκις”. (Αφού το κάναμε μια φορά, μπορούμε να το κάνουμε και δεύτερη.) Η πρώτη γραμμή στη λίστα που ακολουθεί είναι επανάληψη της τελευταίας γραμμής της προηγούμενης λίστας, αλλά με τις απαραίτητες συντμήσειςκαι η λίστα συνεχίζεται.

103·106·103·1012+3+3 διπλεκατομμυριάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·106·103·1018+3+3 τριπλεκατομμυριάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·106·103·1024+3+3 τετραπλεκατομμυριάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
... ...
103·106·103·1060+3+3 δεκαπλεκατομμυριάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·106·103·10600+3+3 εκατονταπλεκατομμυριάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·106·103·106.000+3+3 χιλιαπλεκατομμυριάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
... ...
103·106·103·106.000.000+3+3 εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο

Εδώ σταματάμε να πάρουμε μια (χρήσιμη) ανάσα. Όπως βλέπουμε, υπάρχει επανάληψη τόσο στο σχέδιο των εκθετών, όσο και στο πρόθεμα “εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις” της ονομασίας. Συγκεκριμένα, κάθε φορά που το 3·106.000.000+3 εμφανίζεται “φωλιασμένο” μέσα στους εκθέτες, σαν εκθέτης του 6·10, το πρόθεμα “εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις” προστίθεται στην ονομασία (δείτε παραπάνω το “εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο” σημειωμένο με κόκκινο στον πίνακα).

Άρα, αντί να συνεχίζουμε έτσι σαν τον σαλίγκαρο, μπορούμε να προχωρήσουμε με μεγαλύτερα βήματα (σαν της χελώνας, ας πούμε). Μπορούμε να συμπτύξουμε τα πολλαπλά “εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις”, αλλά δεν πρέπει να το κάνουμε όπως πριν, δηλαδή μ’ ένα πρόθεμα διπλ-, για δύο λόγους: Πρώτο, οι λέξεις καθαυτό θα καταντήσουν να γίνουνε σπαγγέτι (σκεφτήτε: εκατομμυριαπλεκατομμυριαπλεκατομμυριάκις!), και είμαστε εναντίον της ιταλοποίησης της ελληνικής γλώσσας. Και δεύτερο, γιατί το ποιόν της επανάληψης έχει τώρα αλλάξει. Δεν πρόκειται τώρα για απλή συνέχιση των εκθετών προς τα πάνω και δεξιά, αλλά για φωλιασμένη συνέχιση (λόγω του καταληκτικού +3). Άρα προτείνω το εξής:

Να συμπτύξουμε τα πολλαπλά “εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις” με ένα νέο συστατικό καύσιμο. Συγκεκριμένα, τα δύο εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις να γίνουν “διπλό εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις”, τα τρία στη σειρά να γίνουν “τριπλό εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις”, και ούτω καθεξής.

103·106·103·106.000.000+3+3 διπλό εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·106·103·106·103·106.000.000+3+3+3 τριπλό εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
103·106·103·106·103·106·103·106.000.000+3+3+3+3 τετραπλό εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο

Ναι, αλλά μισό λεπτό. Τώρα έχουν πρόβλημα οι εκθέτες! Καθώς θα προχωράμε στο πενταπλό, εξαπλό, κλπ., θα μεγαλώνει το “τόξο” στην εκθετική γραφή, και πριν προλάβουμε να φτάσουμε λίγο παρακάτω η γραφή αυτή θα γίνει αδύνατο να παρασταθεί στη σελίδα. Κάτι πρέπει να κάνουμε και με τη μαθηματική γραφή (έμεινε κι αυτή από καύσιμα).

Ε, τώρα πρέπει να λύσουμε το πρόβλημα από μαθηματική σκοπιά, αντί για γλωσσολογική. Κάνουμε το εξής:

Ορίζουμε μια συνάρτηση Ε(x), σκοπός της οποίας είναι να “κατασκευάζει” την παράσταση. Δηλαδή,

για x = 1, η Ε(1) κατασκευάζει το 103·106.000.000+3, που είναι η παράσταση του “απλού” εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριου. Παρόμοια,
για x = 2, η Ε(2) κατασκευάζει το 103·106·103·106.000.000+3+3 , δηλ. την παράσταση του διπλού εκ/κις εκατομμύριου,
για x = 3, η Ε(3) κατασκευάζει το 103·106·103·106·103·106.000.000+3+3+3 , δηλ. την παράσταση του τριπλού εκ/κις εκατομμύριου,

και ούτω καθεξής. Αν αναρωτιέστε πόσο δύσκολο είναι να κατασκευαστεί η Ε(x), η απάντηση είναι οτι οποιοσδήποτε φοιτητής έχει μάθει να γράφει αναδρομικούς ορισμούς προγραμμάτων, μπορεί να φτιάξει το παραπάνω σαν προγραμματάκι στον υπολογιστή, σε ένα εκατομμυριαπλεκατομμυριοστό του δευτερολέπτου. Στοιχειώδη πράματα. Συνεχίζουμε λοιπόν, οπλισμένοι με τη συνάρτησή-μας Ε(x), και την “πολλαπλότητα” στη γλώσσα.

(Βέβαια, σαν αποτέλεσμα, χάνουμε την αίσθηση του “νούμερου” του αριθμού. Γιατί άλλο είναι ν’ αναγράφεται ολογράφως ο εκθέτης, όπως παραπάνω, και άλλο Ε(x), όπου x η πολλαπλότητα. Αλλά τι να κάνουμε, μην τα θέλουμε όλα δικά-μας!)

Ε(2) διπλό εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
Ε(3) τριπλό εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
Ε(4) τετραπλό εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
... ...
Ε(1000) χιλιαπλό εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
Ε(106) εκατομμυριαπλό εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
Ε(109) δισεκατομμυριαπλό εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
Ε(1012) τρισεκατομμυριαπλό εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
Ε(1015) τετράκις εκατομμυριαπλό εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
... ...
Ε(103.000.003) εκατομμυριάκις εκατομμυριαπλό εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
Ε(103.000.000.000.003) εκατομμυριάκις εκατομμυριάκις εκατομμυριαπλό εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
ή πιο απλά: διπλεκατομμυριάκις εκατομμυριαπλό εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο

Όπου στην τελευταία σύντμηση εφαρμόσαμε τον κανόνα που έχουμε ήδη εφαρμόσει: οτι το “εκατομμυριάκις εκατομμυριάκις” το γράφουμε σαν “διπλεκατομμυριάκις”.

Εδώ πλέον παρατηρούμε οτι συντομεύοντας τα μηδενικά σε εκθέτες, θ’ αποκτήσουμε το ίδιο πρόβλημα που είχαμε και πριν, με τα “τόξα” εκθετών. Συγκεκριμένα,

Ε(103·106.000.000+3) εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμυριαπλό εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο

(Από ’δώ και πέρα το χρώμα θα υποδηλώνει την αντιστοιχία παραστάσεων και λέξεων.)

Αλλά αφού λύσαμε το πρόβλημα μία φορά, είναι σαν να τό ’χουμε λύσει κατ’ επανάληψη. Χρησιμοποιούμε την Ε(x) και πάλι, γράφοντας:

Ε(103·106.000.000+3) = Ε(E(1))

Άρα,

Ε(E(2)) διπλό εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμυριαπλό εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο
Ε(E(106)) εκατομμυριαπλό εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμυριαπλό εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο

Συνεπώς,

Ε(E(E(106))) εκατομμυριαπλό εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις
εκατομμυριαπλό
εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις
εκατομμυριαπλό
εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο

Κάθε κλείσιμο λοιπόν της τρέχουσας παράστασης με ένα Ε(x) εξωτερικά, προκαλεί εισαγωγή του “εκατομμυριαπλό εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις” από αριστερά στη λεκτική περιγραφή. Άρα... «Εδώ ήρθαμε, πά’ να φύγουμε!...» Το είδαμε αυτό το έργο και πριν: μπορούμε να ορίσουμε μια άλλη (απλούστατη) συνάρτηση F, που θα κατασκευάζει αναδρομικά τη φωλιασμένη παράσταση με τα Ε. Όπως επίσης μπορούμε να βρούμε και κάποιον άλλο λεκτικό συμψηφισμό των επαναλαμβανόμενων “εκατομμυριαπλό εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις”, που ν’ αντιστοιχεί στο όρισμα της συνάρτησης F.

Αλλά δυστυχώς, η επανάληψη της μεθόδου που κάποτε φάνηκε σαν καινοτομία, κάνει την καινοτομία βαρετή (ή με πιο απλά λόγια: «το πολύ το κυρελέησον το βαριέται κι ο παπάς»). Γιατί και πάλι θα καταλήξουμε στις φωλιασμένες παραστάσεις μέσα στην F, που θα τις συντμήσουμε με μια συνάρτηση G, όπως επίσης πάλι θα συντμήσουμε τα λεκτικά προθέματα με άλλα προθέματα... εις τους αιώνας των αιώνων αμήν. Σε μια τέτοια θέση ίσως να βρέθηκε κι ο παππούς ο Αρχιμήδης (πολύ νωρίτερα ο άνθρωπος, είπαμε, γιατί έπρεπε να κοπιάσει πολύ περισσότερο καί λόγω γλώσσας καί λόγω συμβόλων). Ε, το ξέραμε από την αρχή: κάπου θα μέναμε από καύσιμα, καταμεσής στην έρημο. Μάλλον εδώ είναι το σημείο. Οπότε τώρα, ρίχνοντας μια τελευταία ματιά προς το άπειρο των αριθμών που απλώνεται μπροστά-μας ως τον ορίζοντα, ας κάνουμε μεταβολή κι ας γυρίσουμε πίσω, για να επιστρέψω κι εγώ και να πω στους πρώην συμμαθητές-μου: «Αυτό εννοούσα ρε...“φίλοι-μου αγαπημένοι”»!

–Χάρης Φουνταλής.